欧拉乘积

数论中，欧拉乘积（英语：Euler product）是指狄利克雷级数可表示为一指标为素数的无穷乘积。这一乘积以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名，他证明了黎曼ζ函数可表示为此无穷乘积的形式。

定义

假设$a$为一积性函数，则狄利克雷级数

$\sum _{n}a(n)n^{-s}\,$

等于欧拉乘积

$\prod _{p}P(p,s)\,$

其中，乘积对所有素数$p$进行，$P(p,s)$则可表示为

$1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .$

这可以看作形式母函数，形式欧拉乘积展开的存在性与$a(n)$为积性函数两者互为充要条件。

$a(n)$为完全积性函数时可得到一重要的特例。此时$P(p,s)$为等比级数，有

$P(p,s)={\frac {1}{1-a(p)p^{-s}}},$

当$a(n)=1$时即为黎曼ζ函数，更一般的情形则是狄利克雷特征。

参考文献

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
• Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001  (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
• G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Chapter 17 gives further examples.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"