时频分析转换关系

在时间与频率的分析领域中，有不少的讯号的单纯使用频域或时域表示，而是同时使用时域与频域来表示。

有几种方法或转换被里昂·柯恩统整组织被称为"时频分析"，最常被使用的方法称为“二次”或“双线性时频分析”，而此类方法中，最被广泛使用的方法中以韦格纳分布为其中之一，其他的时频分布则被称为维格纳分布的折积版。另一个被广泛使用的方法为频谱图，为“短时距傅立叶转换”的平方，频谱图有著平方必为正的优点，容易由图理解，但有著不可逆的缺点，如短时距傅立叶转换不可逆计算，无法从频谱图找回原信号。而验证这些理论与定义验证可以参考“二次式时频分布理论”。

本文主题虽是讯号处理领域，但是借由量子力学的相空间来推导某些分布从A分布转换至B分布的过程。一个信号在相同的状况下，给与不同的时频分布表示方式，透过简单的平滑器或滤波器，计算出其他分布。

一般化

如果我们用变数ω=2πf，然后，借用量子力学领域中使用的符号，就可以显示该时间-频率表示，如维格纳分布函数和其它双线性时间-频率分布，可表示为

$C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta ,$ (1)

$\phi (\theta ,\tau )$为一定义其分布及特性之二维函数。

维格纳分布的核为一。但在一般型式里任何分布的核为一没有任何的意义，在其他状况下维格纳分布的核应为其他结果。

特征方程式

特征方程式为双傅立叶转换，从方程式(1)可以得到

$C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint M(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau$ (2)

${\begin{alignedat}{2}M(\theta ,\tau )&=\phi (\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du\\&=\phi (\theta ,\tau )A(\theta ,\tau )\\\end{alignedat}}$ (3)

$A(\theta ,\tau )$ 为对称模糊函数，特征方程式也可易被称为广义模糊函式。

分布之间转换关系

假设有两个分布 $C_{1}$ and $C_{2}$,个别对应核为 $\phi _{1}$ and $\phi _{2}$，特征方程式为

$M_{1}(\phi ,\tau )=\phi _{1}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du$ (4)

$M_{2}(\phi ,\tau )=\phi _{2}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\dfrac {1}{2}}\tau \right)s\left(u+{\dfrac {1}{2}}\tau \right)e^{j\theta u}\,du$ (5)

方程式(4)、(5)相除得

$M_{1}(\phi ,\tau )={\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\phi ,\tau )$ (6)

方程式(6)相当重要，其结果使其连接特征方程式在有线区域内之核不为零。

欲获得两分布之间的关系，需使用双傅立叶转换并使用方程式(2)

$C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau$ (7)

用$C_{2}$来表示$M_{2}$

$C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiiint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}C_{2}(t,\omega ^{'})e^{j\theta (t^{'}-t)+j\tau (\omega ^{'}-\omega )}\,d\theta \,d\tau \,dt^{'}\,d\omega ^{'}$ (8)

可改写成

$C_{1}(t,\omega )=\iint g_{12}(t^{'}-t,\omega '-\omega )C_{2}(t,\omega ')\,dt^{'}\,d\omega '$ (9)

其中，

$g_{12}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau$ (10)

频谱与其他双线性相互关系

我们专注于其中一个从任意代表性的频谱转换的情况，在方程式(9)中，$C_{1}$为频谱图而$C_{2}$ 为任意数，为了简化符号使用以下表示，$\phi _{SP}=\phi _{1}$, $\phi =\phi _{2}$, $g_{SP}=g_{12}$，可被表示为

$C_{SP}(t,\omega )=\iint g_{SP}(t^{'}-t,\omega ^{'}-\omega )C(t,\omega ^{'})\,dt^{'}\,d\omega ^{'}$ (11)

频谱图的核为

${\begin{alignedat}{3}g_{SP}(t,\omega )&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {A_{h}(-\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint {\dfrac {1}{\phi (\theta ,\tau )}}h^{*}(u-{\dfrac {1}{2}}\tau )h(u+{\dfrac {1}{2}}\tau )e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\dfrac {1}{2}}\tau )h(u+{\dfrac {1}{2}}\tau ){\dfrac {\phi (\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\\end{alignedat}}$ (12)

令$\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1$, $g_{SP}(t,\omega )$为窗函数，然而在$-\omega$状况下得

$g_{SP}(t,\omega )=C_{h}(t,-\omega )$ (13)

使其核满足 $\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1$

$C_{SP}(t,\omega )=\iint C_{s}(t^{'},\omega ^{'})C_{h}(t^{'}-t,\omega ^{'}-\omega )\,dt^{'}\,d\omega ^{'}$ (14)

其核亦满足$\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1$

其证明可见Janssen[4]. 当$\phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )$不等于1时，

$C_{SP}(t,\omega )=\iiiint G(t^{''},\omega ^{''})C_{s}(t^{'},\omega ^{'})C_{h}(t^{''}+t^{'}-t,-\omega ^{''}+\omega -\omega ^{'})\,dt^{'}\,dt^{''}\,d\omega ^{\,}d\omega ^{''}$ (15)

$G(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}\,d\theta \,d\tau$ (16)