指数映射 (黎曼几何)

过北极的切面，到地面表面的指数映射，地图学称为方位等距投影。

黎曼几何中，指数映射$\exp _{p}$（英语：exponential map）是由某（伪）黎曼流形$M$切空间$T_{p}M$的子集，到$M$本身的映射。（伪）黎曼度量对应某个典范仿射联络，而（伪）黎曼流形的指数映射就是这个联络的指数映射。直观理解，由起点$p$出发，以拣选切向量$v\in T_{p}M$为速度，沿流形上的“直线”行单位时间，到达的终点就是$\exp _{p}(v)$。

定义

设$M$为微分流形，$p$为$M$上一点。利用$M$上的仿射联络，可以定义过$p$点的测地线。

设$v\in T_{p}M$为于$p$点的切向量，则独有一条测地线$\gamma _{v}$满足$\gamma _{v}(0)=p$，而初始切向量为$\gamma _{v}'(0)=v$。对应的指数映射$\exp _{p}$由

$\exp _{p}(v)=\gamma _{v}(1)$

定义。一般而言，指数映射不必在全个$T_{p}M$有定义，而衹有局部定义，即定义域是$T_{p}M$原点的小邻域，映到$p$在流形上的某邻域内。原因是，测地线之所以存在（和唯一），藉赖常微分方程解的柯西-利普希茨定理，但该定理是仅在局部成立。若指数映射在切丛处处有定义，则该线性联络称为完备。

参考资料

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi, Foundations of Differential Geometry Vol. 1 New, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3 .