密度矩阵

从白炽灯（1）发射出的光子处于完全随机偏振混合态（2），密度矩阵为
${\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\\\end{bmatrix}}$ 。
通过垂直平面偏振器（3）之后，光子处于垂直偏振纯态（4），密度矩阵为
${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}$ 。

在量子力学里，密度算符（英语：density operator）与其对应的密度矩阵（英语：density matrix）专门描述混合态量子系统的物理性质。纯态是一种可以直接用态向量 $|\psi \rangle$ 来描述的量子态，混合态则是由几种纯态依照统计机率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态 $|\psi _{1}\rangle$ 、$|\psi _{2}\rangle$ 、$|\psi _{3}\rangle$ 、……的机率分别为 $w_{1}$ 、$w_{2}$ 、$w_{3}$ 、……，则这混合态量子系统的密度算符 $\rho$ 为

${\rho }=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$ 。

注意到所有机率的总和为1：

$\sum _{i}w_{i}=1$ 。

假设 $\{|b_{i}\rangle ,\quad i=1,2,3,\dots ,n\}$ 是一组规范正交基，则对应于密度算符的密度矩阵 $\varrho$ ，其每一个元素 $\varrho _{ij}$ 为

$\varrho _{ij}=\langle b_{i}|\rho |b_{j}\rangle =\sum _{k}w_{k}\langle b_{i}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|b_{j}\rangle$ 。

对于这量子系统，可观察量 $A$ 的期望值为

$\langle A\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\langle b_{i}|{\rho }{A}|b_{i}\rangle =\operatorname {tr} ({\rho }{A})$ ，

是可观察量 $A$ 对于每一个纯态的期望值 $\langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle$ 乘以其权值 $w_{i}$ 后的总和。

混合态量子系统出现的案例包括，处于热力学平衡或化学平衡的系统、制备历史不确定或随机变化的系统（因此不知道到底系统处于哪个纯态）。假设量子系统处于由几个纠缠在一起的子系统所组成的纯态，则虽然整个系统处于纯态，每一个子系统仍旧可能处于混合态。在量子退相干理论里，密度算符是重要理论工具。

密度算符是一种线性算符，是自伴算符、非负算符（英语：nonnegative operator）、迹数为1的算符。关于密度算符的数学形式论是由约翰·冯·诺伊曼与列夫·郎道各自独立于1927年给出。

纯态与混合态

假设一个量子系统的量子态是纯态，则这量子态可以用态向量表示为 $|\psi \rangle$ 。几种纯态依照机率组成的量子态称为混合态。例如，假设一个量子系统处于纯态 $|\psi _{1}\rangle$ 、$|\psi _{2}\rangle$ 的机率都为50%，则这量子系统处于混合态。密度矩阵专门用来表示混合态。任何量子态，不管是纯态，还是混合态，都可以用密度矩阵表示。

混合态与叠加态的概念不同，几种纯态通过量子叠加所组成的叠加态仍旧是纯态。例如，$(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}$ 是个纯态。

光子偏振案例

平面偏振

圆偏振

椭圆偏振

平面偏振（紫色）光波的电场（蓝色）可以分解为两个相互垂直的分量（红色与绿色）。

光子的两种圆偏振态，右旋圆偏振态与左旋圆偏振态，分别以态向量 $|R\rangle$ 、$|L\rangle$ 标记。光子也可能处于叠加态，例如，垂直偏振态与水平偏振态分别为 $(|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}$ 、$(|R\rangle -|L\rangle )/{\sqrt {2}}$ 。更一般地，光子偏振所处于的叠加态可以表示为 $\alpha |R\rangle +\beta |L\rangle$ ；其中，$\alpha$ 、$\beta$ 是系数。这一般式可以表示平面偏振态、圆偏振态、椭圆偏振态等等。

假若让处于叠加态 $(|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}$ 的光子通过左旋圆偏振器，则出射的光子处于左旋圆偏振态 $|L\rangle$ ；假若通过右旋圆偏振器，则出射的光子处于右旋圆偏振态 $|R\rangle$ 。对于这两种圆偏振模，光子强度都会减半，貌似意味著叠加态 $(|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}$ 的一半光子处于量子态 $|R\rangle$ ，另一半处于量子态 $|L\rangle$ ，但这种解释并不正确，处于量子态 $|R\rangle$ 与 $|L\rangle$ 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收，但是处于量子态 $(|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}$ 的光子不会被垂直平面偏振器吸收。

从白炽灯发射出的光子是一种非偏振态光子，不能用叠加态 $\alpha |R\rangle +\beta |L\rangle$ 来描述。特别而言，与平面偏振态光子不同，它通过任何偏振器后都会失去50%强度，与圆偏振态光子不同，使用波片（waveplate）不能直接将它改变为平面偏振态光子。非偏振态光子可以描述为，处于 $|R\rangle$ 的机率是50%，处于 $|L\rangle$ 的机率是50%。它也可以描述为，处于垂直偏振态的机率是50%，处于水平偏振态的机率是50%。

非偏振态光子的量子态不是纯态，而是由几种纯态依照统计机率组成。它可以由50%右旋圆偏振态与50%左旋圆偏振态组成，或者，它可以由50%垂直偏振态与50%水平偏振态组成。这两种组合无法做实验辨识区分，因此它们被视为同样的混合态。密度算符含有混合态的所有资料，足够计算任何关于混合态的可测量性质。

混合态到底源自何处？试想非偏振态光子是怎样制成的。一种方法是利用处于动力学平衡的系统，这系统拥有很多个微观态（microstate），伴随每一个微观态都有其发生的机率（波兹曼因子），它们会因热力学涨落（thermal fluctuation）从一个微观态变换到另一个微观态。热力学随机性可以解释白炽灯怎样发射非偏振光子。另一种方法是引入不确定性于系统的制备程序，例如，将光束通过表面粗糙的双折射晶体，使得光束的不同部分获得不同偏振。第三种方法应用EPR机制，有些放射性衰变会发射两个光子朝著反方向移动离开，这纠缠系统的量子态为 $(|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}$ ，整个系统是处于纯态，但是每一个光子子系统的物理行为如同非偏振态光子，从分析光子子系统的约化密度算符，可以得到这结论。

一般而言，混合态时常会出现于几种纯态的统计性混合（例如热力学平衡）、制备程序的不确定性（例如光子可能移动于稍微不同路径）、包含在纠缠系统内的子系统（例如EPR机制）。

数学表述

纯态

参见：量子态

假设一个量子系统的量子态是纯态，则这量子态可以用态向量表示为 $|\psi \rangle$ ，对应的密度算符定义为

$\rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |$ 。

从密度算符的形式，可以推论密度算符是自伴算符：

$\rho ^{\dagger }=(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\dagger }=|\psi \rangle \langle \psi |=\rho$ 。

假设，物理量 $A$ 是这量子系统的可观察量，其本征值为 $a_{i}$ 的本征态 $|a_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n$ 形成一个规范正交基 $\{|a_{i}\rangle \}$ ，则对可观察量 $A$ 做测量得到 $a_{i}$ 的机率 ${\mathcal {P}}(a_{i})$为

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}(a_{i})&\ {\stackrel {def}{=}}\ |\langle a_{i}|\psi \rangle |^{2}=\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{k}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|\Lambda (a_{i})\rho |a_{k}\rangle \\&={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )\\\end{aligned}}$ ；

其中，$\Lambda (a_{i})\ {\stackrel {def}{=}}\ |a_{i}\rangle \langle a_{i}|$ 是对应于本征态 $|a_{i}\rangle$ 的投影算符，${\hbox{tr}}()$ 是迹数。

做实验测量可观察量 $A$ 获得的期望值为

${\begin{aligned}\langle A\rangle &\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}a_{i}{\mathcal {P}}(a_{i})=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\rho |a_{i}\rangle =\sum _{i}\langle a_{i}|A\rho |a_{i}\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )\\\end{aligned}}$ 。

这种可观察量的期望值与迹数运算之间的关系称为迹定则（trace rule）。对于不同的规范正交基，迹数是个不变量。采用任何规范正交基，都可以计算出同样迹数。另外，机率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性，这是很优良的性质，这意味著机率公式与期望值公式也适用于几个密度算符的线性组合。

由于 $|\psi \rangle$ 被归一化， 密度算符的迹数为1：

${\begin{aligned}{\hbox{tr}}(\rho )&={\hbox{tr}}(|\psi \rangle \langle \psi |)=\sum _{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}\langle \psi |a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1\\\end{aligned}}$ 。

对于任意归一化量子态 $\phi$ ，

$0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle =|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}\leq 1$ ，

所以，密度算符是非负算符（nonnegative operator）。

混合态

将先前纯态密度算符的定义式加以延伸，假设在一个量子系统处于纯态 $|\psi _{1}\rangle$ 、$|\psi _{2}\rangle$ 、$|\psi _{3}\rangle$ 、……的机率分别为 $w_{1}$ 、$w_{2}$ 、$w_{3}$ 、……，则这混合态量子系统的密度算符 $\rho$ 为

${\rho }\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$ 。

每一个机率都是非负实值，所有机率的总和为1：

$0\leq w_{i}\leq 1$ ，

$\sum _{i}w_{i}=1$ 。

按照“无知诠释”，这种量子系统确定是处于某个纯态$\psi _{i}$，但是无法知道到底是哪一个纯态。这种可以用无知诠释来论述的量子系统称为“真混合物”（proper mixture），否则，称为“瑕混合物”（improper mixture）。

回想在纯态段落里，机率公式与期望值公式对于密度算符都具有线性，这意味著对于混合态的密度算符，这些公式也都适用。加以延伸后的密度算符，也具有先前纯态的密度算符所拥有的性质：

• 密度算符是自伴算符：$\rho =\rho ^{\dagger }$ 。
• 密度算符的迹数为1：${\hbox{tr}}(\rho )=1$ 。
• 对可观察量 $A$ 做测量得到 $a_{i}$ 的机率为 ${\mathcal {P}}(a_{i})={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )$ 。
• 做实验测量可观察量 $A$ 获得的期望值为 $\langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )$ 。
• 密度算符是非负算符：$0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle \leq 1$ 。

由于密度算符 $\rho$ 是自伴算符，它具有谱表示

$\rho =\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|$ ；

其中，$|a_{i}\rangle$ 是本征值为 $a_{i}$ 的本征态，所有 $|a_{i}\rangle$ 形成一个规范正交基。

按照自伴算符的定义，每一个本征值 $a_{i}$ 是它自己的共轭：

$a_{i}=a_{i}^{*}$ 。

由于密度算符 $\rho$ 是非负算符，每一个本征值 $a_{i}$ 都是非负值。

由于密度算符 $\rho$ 的迹数为1，

$\sum _{i}a_{i}=1$ 。

给定一个量子系统，其所有可能的密度算符组成一个凸集。假设 $\rho _{i},\quad i=1,2,3,...,n$ 属于这凸集，则 $\rho =\sum _{i}c_{i}\rho _{i}$ 也属于这凸集；其中，$0\leq c_{i}\leq 1$ 是系数，$\sum _{i}c_{i}=1$ 。

用密度算符辨认纯态与混合态

由于纯态的密度算符定义式为

$\rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |$ ，

所以纯态的密度算符具有特征

• $\rho ^{2}=\rho$ 。
• ${\hbox{tr}}(\rho ^{2})={\hbox{tr}}(\rho )=1$ 。

否则，非纯态的密度算符遵守关系式

${\hbox{tr}}(\rho ^{2})<{\hbox{tr}}(\rho )=1$ 。

另外，将纯态的密度矩阵 $\varrho$ 对角化后，只能有一个对角元素等于1，其它对角元素都等于0，例如，一种形式为

$\varrho ={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}$ 。

量子态的纯度$\gamma$ 定义为

$\gamma ={\hbox{tr}}(\rho ^{2})$ 。

纯态的纯度为1。处于N维希尔伯特空间、完全混合的混合态，其对角元素的数值为$1/N$ 、非对角元素的数值为0，其纯度为$1/N$ 。

冯诺伊曼熵是另一种描述量子态混合程度的量度。

连续性本征态基底

位置是一种连续性可观察量，具有连续性本征值谱，用这种可观察量的连续性本征态为基底，密度矩阵 $\varrho$ 含有两个位置参数 $x'$ 、$x''$ ：

$\varrho (x',x'')=\sum _{i}w_{i}\psi _{i}(x')\psi _{i}^{*}(x'')$ 。

可观察量 $A$ 的期望值为

$\langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )=\int \mathrm {d} x'\int \mathrm {d} x''\langle x'|A|x''\rangle \langle x''|\rho |x'\rangle$ 。

复合系统

假设密度算符为 $\rho$ 的复合系统是由两个子系统 $A$ 、$B$ 组成，这两个子系统的物理行为分别由其对应约化密度算符（reduced density operator） $\rho _{A}$ 、$\rho _{B}$ 描述：

$\rho _{A}={\hbox{tr}}_{B}(\rho )$ 、

$\rho _{B}={\hbox{tr}}_{A}(\rho )$ ；

其中，${\hbox{tr}}_{B}$ 、${\hbox{tr}}_{A}$ 分别是对于子系统$B$ 、$A$ 的偏迹数（partial trace）。

这复合系统的两个子系统之间没有任何关联（没有任何量子关联或经典关联），若且唯若 $\rho$ 是 $\rho _{A}$ 与 $\rho _{B}$ 的张量积：

$\rho =\rho _{A}\otimes \rho _{B}$ 。

约化密度算符

约化密度算符最先由保罗·狄拉克于1930年提出。假设两个希尔伯特空间$H_{A}$、$H_{B}$的规范正交基分别为$\{|a_{i}\rangle _{A}\}$、$\{|b_{j}\rangle _{B}\}$，分别在这两个希尔伯特空间$H_{A}$、$H_{B}$的两个子系统$A$、$B$所组成的复合系统，其量子态为纯态$|\psi \rangle$，其密度算符$\rho$为

$\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$。

取密度算符$\rho$对于子系统$B$的偏迹数，可以得到子系统$A$的约化密度算符$\rho _{A}$：

$\rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}\langle b_{j}|_{B}\left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)|b_{j}\rangle _{B}={\hbox{tr}}_{B}(\rho )$。

例如，纠缠态$|\psi \rangle _{AB}=(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})/{\sqrt {2}}$，其子系统$A$的约化密度算符$\rho _{A}$为

$\rho _{A}={\frac {1}{2}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}{\bigg )}$。

如同预想，这公式演示出，子系统$A$的约化密度算符$\rho _{A}$为混合态。

范例

设定斯特恩-革拉赫实验仪器的磁场方向为z-轴，入射的银原子束可以被分裂成两道银原子束，每一道银原子束代表一种量子态，上旋$|\uparrow \rangle$或下旋$|\downarrow \rangle$。

如右图所示，使用z-轴方向的斯特恩-革拉赫实验仪器，可以将入射的银原子束，依照自旋的z-分量 $S_{z}$ 分裂成两道，一道的 $S_{z}$ 为上旋，标记为 $|z+\rangle$ ，另一道的 $S_{z}$ 为下旋，标记为 $|z-\rangle$ 。

z-轴方向

• 态向量：$|z+\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ 。

密度矩阵：$\varrho _{z+}=|z+\rangle \langle z+|={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}$ 。

• 态向量：$|z-\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ 。

密度矩阵：$\varrho _{z-}=|z-\rangle \langle z-|={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}$ 。

x-轴方向

• 态向量：$|x+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$ 。

密度矩阵：$\varrho _{x+}=|x+\rangle \langle x+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ 。

• 态向量：$|x-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$ 。

密度矩阵：$\varrho _{x-}=|x-\rangle \langle x-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ 。

y-轴方向

• 态向量：$|y+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$ 。

密度矩阵：$\varrho _{y+}=|y+\rangle \langle y+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ 。

• 态向量：$|y-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$ 。

密度矩阵：$\varrho _{y-}=|y-\rangle \langle y-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$ 。

完全随机粒子束

完全随机粒子束的量子态不是纯态，它可以由50% $|z+\rangle$ 纯态与50% $|z-\rangle$ 纯态组成：

$\varrho ={\frac {1}{2}}\varrho _{z+}+{\frac {1}{2}}\varrho _{z-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}$ 。

它也可以由50% $|x+\rangle$ 纯态与50% $|x-\rangle$ 纯态组成：

$\varrho ={\frac {1}{2}}\varrho _{x+}+{\frac {1}{2}}\varrho _{x-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}0.5&0.5\\0.5&0.5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.5&-0.5\\-0.5&0.5\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}$ 。

另外，它还可以由50% $|y+\rangle$ 纯态与50% $|y-\rangle$ 纯态组成，因此可见，不同的组合仍可得到同样的混合态。

一般而言，完全随机粒子束的 $N\times N$ 密度矩阵 $\varrho$ ，经过对角化之后，可以写为

$\varrho ={\frac {1}{N}}{\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{bmatrix}}$ 。

热平衡态

对于一组能量本征态$|\psi _{n}\rangle$，热平衡下的混态：

$\rho =\sum _{n}\omega _{n}|\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|$

其中$p_{n}=\exp(-E_{n}/kT)/Z$，以及$Z=\displaystyle {\textstyle \sum _{n}}\exp(-E_{n}/kT)$是配分函数。对于不含时哈密顿算符，热平衡的混态是不随时间演化的。

冯诺伊曼方程式

参见：刘维尔定理

薛丁格方程式描述纯态怎样随著时间流逝而演化，冯诺伊曼方程式描述密度算符怎样随著时间流逝而演化。实际而言，这两种方程式等价，因为它们彼此都可以推导出对方。假设，在时间 $t_{0}$ ，量子系统的密度算符为

$\rho (t_{0})=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}(t_{0})\rangle \langle \psi _{i}(t_{0})|$ ；

其中，量子系统在时间 $t_{0}$ 处于纯态 $|\psi _{i}(t_{0})\rangle$ 的机率是 $w_{i}$

假若不搅扰这量子系统，则机率 $w_{i}$ 跟时间无关。在时间 $t$ ，纯态 $|\psi _{i}(t)\rangle$ 遵守含时薛丁格方程式

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{i}(t)\rangle =H|\psi _{i}(t)\rangle$ ，

其中，$\hbar$ 是约化普朗克常数，$H$ 是哈密顿算符。

所以，冯诺伊曼方程式表示为

${\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho (t)&=\sum _{i}w_{i}(H|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|-|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|H)\\&=-[\rho ,H]\\\end{aligned}}$ ；

其中，方括弧代表对易算符。

注意到只有当采用薛丁格绘景时（必须采用薛丁格绘景来计算密度算符）这方程式才成立，虽然这方程式看起来很像海森堡绘景的海森堡方程式，唯一差别是关键的正负号：

${\frac {dA^{(H)}}{dt}}=-\ {\frac {i}{\hbar }}[A^{(H)},H]$ ；

其中，$A^{(H)}$ 是某种采用海森堡绘景的算符。

在海森堡绘景里，密度算符与时间无关，正负号差别确使期望值 $\langle A\rangle$ 对于时间的导数会得到与薛丁格绘景相同的结果。

假若哈密顿算符不含时，则可从冯诺伊曼方程式推导出

$\rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }$ 。

冯诺伊曼熵

对于两体纯态系统，冯诺伊曼熵 $\sigma$ （竖轴）与本征值 $a_{i}$ （横轴）之间的关系曲线。

在量子统计力学（quantum statistical mechanics）里，冯诺伊曼熵（von Neumann entropy）是经典统计力学关于熵概念的延伸。对于密度矩阵为 $\varrho$ 的混合态，冯诺伊曼熵定义为

$\sigma \ {\stackrel {def}{=}}\ -\mathrm {tr} (\varrho \ln \varrho )$ 。

这公式涉及到矩阵对数（logarithm of a matrix），似乎很难计算，但密度算符 $\rho$ 是自伴算符，具有谱表示

$\rho =\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|$ ；

其中，$|a_{i}\rangle$ 是本征值为 $a_{i}$ 的本征态，所有 $|a_{i}\rangle$ 形成一个规范正交基。

因此，可以将密度矩阵 $\varrho$ 对角化，将冯诺伊曼熵更简单地以对角化后的密度矩阵 $\varrho$ 定义为

$\sigma =-\sum _{i}\varrho _{ii}\ln \varrho _{ii}$ 。

冯诺伊曼熵 $\sigma$ 又可以写为

$\sigma =-\sum _{i}a_{i}\ln a_{i}$ 。

从这形式，可以推论冯诺伊曼熵与经典信息论里的夏农熵（Shannon entropy）相关。

在这里，可以视每一个本征值 $a_{i}$ 为处于本征态 $|a_{i}\rangle$ 的机率。假若某事件的发生机率为零，则这事件不应贡献出丝毫冯诺伊曼熵。从数学而言，以下极限为零：

$\lim _{a\to 0}a\log a=0$ 。

因此，可以采用约定

$0\log 0=0$ 。

纯态的冯诺伊曼熵为零，因为其密度矩阵对角化之后，只有一个元素为1，其它均为0。即所有对角元素 $a_{i}$ 必定满足 $a_{i}=0$ 或 $\ln a_{i}=0$ 。

完全随机混合态的 $N\times N$ 密度矩阵，其冯诺伊曼熵 $\sigma$ 为

$\sigma =-\sum _{i}{\frac {1}{N}}\ln {\frac {1}{N}}=\ln N$ 。

假若，将冯诺伊曼熵视为量子系统失序现象的一种量度，则纯态拥有最小的冯诺伊曼熵 $0$ ，而完全随机混合态拥有最大的冯诺伊曼熵 $\ln N$ 。

每一次做投影测量，冯诺伊曼熵都会增加，永远不会减少，但是，对于广义测量（generalized measurement），冯诺伊曼熵可能会减少。混合态的冯诺伊曼熵永远不小于零。因此，纯态可以通过投影测量改变为混合态，但是，非纯态的混合态永远无法通过投影测量改变为纯态。投影测量这动作促成了一种基本不可逆性的对于密度算符的改变，如同波函数塌缩。实际而言，相当反直觉地，投影测量这动作抹除了复合系统的量子相干性。更详尽内容，请参阅条目量子退相干。

一个量子系统的子系统可以从混合态改变为纯态，但是所附出的代价是其它部分的冯诺伊曼熵会增加，就好似将一个物体放进冰箱来降低其熵，冰箱热交换器外的空气会变暖，而所增加的熵会比物体所减少的熵更多。更详尽内容，请参阅条目热力学第二定律。

参阅

• 玻恩法则（Born rule）
• 格里森定理（Gleason's theorem）
• 密度泛函理论