不可压缩流

在连续介质力学里，不可压缩流是流速的散度等于零的流动，更精确地称为等容流。这理想流动可以用来简化理论分析。实际而言，所有的物质多多少少都是可压缩的。“等容”这一术语指的是流动性质，不是物质性质；是说在某种状况，一个可压缩流体会有不可压缩流的动作。由于做了不可压缩这假设，物质流动的主导方程式能够极大地简化。

不可压缩流遵守以下方程式：

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0\,\!$ ；

其中，$\mathbf {u} \,\!$ 是物质流动的速度。

根据连续方程式，

${\frac {\partial {\rho }}{\partial {t}}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\,\!$ ；

其中，$\rho \,\!$ 是物质密度。

以随体导数(material derivative)表达，

${\frac {D\rho }{Dt}}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial {\rho }}{\partial {t}}}+(\nabla \rho )\cdot \mathbf {u} =-\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )\,\!$ 。

由于 $\rho >0\,\!$ ，一个流动是不可压缩流，若且唯若

${\frac {D\rho }{Dt}}=0\,\!$ 。

也就是说，随著物质元素的移动，质量密度是常数。

与压缩因子的关系

在某些学术领域，一个流动的不可压缩性质的度量，是由压强的变化而造成的密度改变给出。这最好以压缩因子 $Z\,\!$ 表达：

$Z={\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dp}}\,\!$ ；

其中，$p\,\!$ 是压强。

假若压缩因子足够微小，则视此流动为不可压缩流。

与螺线向量场的关系

一个不可压缩流的速度场 $\mathbf {u} \,\!$ 是螺线向量场，又称零散度场，其速度的散度等于零。不可压缩流的速度场 $\mathbf {u} \,\!$ 可以表示为一向量势 $\mathbf {A} \,\!$ 的旋度：

$\mathbf {u} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!$ 。

假设，这不可压缩流的速度的旋度也等于零，则其速度场也是无旋场。对于这状况 $\mathbf {u} \,\!$ 是一个拉普拉斯向量场(Laplacian vector field)，可以表示为一纯量势 $\phi \,\!$ 的梯度：

$\mathbf {u} =\nabla \phi \,\!$ 。

这纯量势 $\phi \,\!$ 满足拉普拉斯方程式：

$\nabla ^{2}\phi =0\,\!$ 。

不可压缩物质

不可压缩物质定义为，在任何位置 $\mathbf {r} \,\!$ 与时间，密度恒定的物质。以方程式表达，

$\rho (\mathbf {r} ,t)=constant\,\!$ 。

这意味著密度不会因时间而改变：

${\frac {\partial {\rho }}{\partial {t}}}=0\,\!$ ，

而且，密度是均匀的：

$\nabla \rho =0\,\!$ 。

从连续方程式，可以推论

${\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial {\rho }}{\partial {t}}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\implies \nabla \cdot \mathbf {u} =0\,\!$ 。

所以，不可压缩物质的流动永远是不可压缩流；但是，反过来推论则不正确。

参阅

• 可压缩流(compressible flow)
• 泊肃叶定律