高斯映射

高斯映射将曲线或曲面上每一点映射到单位圆或单位球面上的对应点。

在微分几何里，高斯映射是从欧氏空间R³中的一个曲面到单位球面S²的一个映射。高斯映射是以卡尔·弗里德里希·高斯命名。

给出R³中的曲面X，高斯映射是一个连续映射N: X → S²，使得N(p)是在点p上正交于X的单位向量，就是曲面X在点p处的法向量。

高斯映射可以在曲面的整体上定义，当且仅当曲面是可定向的，此时其映射度等于欧拉示性数的一半。无论何时高斯映射都可以在曲面的局部上（即曲面的一小块上）定义。高斯映射的雅可比行列式等于高斯曲率，而高斯映射的微分称为形状算子。

高斯以此为题在1825年写了一份初稿，并在1827年发表。

全曲率

高斯映射的像的面积称为全曲率，等于高斯曲率的曲面积分。这是起初高斯所给出的诠释。高斯-博内定理将曲面的全曲率和曲面的拓扑性质联系起来：

$\iint _{R}|N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K\ dA$

推广

高斯映射可以定义在Rⁿ中的超曲面上，从超曲面映射到Rⁿ中的单位球面S^n-1。

参考

• Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827)
• Gauss, K. F., General investigations of curved surfaces, English translation. Hewlett, New York: Raven Press (1965).