在数论 上，费马－卡塔兰猜想 是费马大定理 与卡塔兰猜想 的推广，而这猜想认为，以下的等式
a
m
+
b
n
=
c
k
{\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}\quad }
1
仅有有限多个
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
m
,
n
,
k
{\displaystyle m,n,k}
1
m
+
1
n
+
1
k
<
1.
{\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}
2
这个给出
m
,
n
,
k
{\displaystyle m,n,k}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
a
m
+
b
n
=
c
{\displaystyle a^{m}+b^{n}=c}
m
=
n
=
k
=
2
{\displaystyle m=n=k=2}
毕达哥拉斯定理 ，而目前已知有无限多个毕氏三元数 存在。
截至2015年 为止，等式(1)已知有十个满足不等式(2)的解，而这些解如下：[ 1]
1
m
+
2
3
=
3
2
{\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}
m
>
6
{\displaystyle m>6}
2
5
+
7
2
=
3
4
{\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}
7
3
+
13
2
=
2
9
{\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}
2
7
+
17
3
=
71
2
{\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}
3
5
+
11
4
=
122
2
{\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}
33
8
+
1549034
2
=
15613
3
{\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}
1414
3
+
2213459
2
=
65
7
{\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}
9262
3
+
15312283
2
=
113
7
{\displaystyle 9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;}
17
7
+
76271
3
=
21063928
2
{\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}
43
8
+
96222
3
=
30042907
2
{\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}
根据在普雷达·米哈伊列斯库
1
m
+
2
3
=
3
2
{\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
m
{\displaystyle m}
1
m
+
2
3
=
3
2
{\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}
(
a
m
,
b
n
,
c
k
)
{\displaystyle (a^{m},b^{n},c^{k})}
根据利用了法尔廷斯定理 的达尔蒙－关维定理（Darmon–Granville theorem），对于任意特定不等式(2)的三元数组
(
m
,
n
,
k
)
{\displaystyle (m,n,k)}
[ 2] [ 3] :p. 64 然而完整的费马－卡塔兰猜想强于此，而这是因为完整的猜想允许
m
,
n
,
k
{\displaystyle m,n,k}
abc猜想 可导出费马－卡塔兰猜想。[ 4]
亦可见贝亚尔猜想
m
=
2
{\displaystyle m=2}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
k
=
2
{\displaystyle k=2}
^ Pomerance, Carl , Computational Number Theory, Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press: 361–362, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2 ^ Darmon, H.; Granville, A. On the equations z m F (x , y ) and Ax p By q Cz r 27 : 513–43. doi:10.1112/blms/27.6.513 ^ Elkies, Noam D. The ABC's of Number Theory (PDF) . The Harvard College Mathematics Review. 2007, 1 (1) [2023-01-10 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2016-03-10）. ^ Waldschmidt, Michel . Lecture on the
a
b
c
{\displaystyle abc}
Mathematics in the 21st century (PDF) . Springer Proc. Math. Stat. 98 . Basel: Springer. 2015: 211–230 [2023-01-10 ] . MR 3298238 doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13 存档 (PDF) 于2023-12-03）.
