球面像差

球面像差（英语：SA/Spherical aberration），是指发生在经过透镜折射或面镜反射的光线，接近中心与靠近边缘的光线不能将影像聚集在一个点上的现象。这在望远镜和其他的光学仪器上都是一个缺点。这是因为透镜和面镜必须满足所需的形状，否则不能聚焦在一个点上造成的。球面像差与镜面直径的四次方成正比，与焦长的三次方成反比，所以他在低焦比的镜子，也就是所谓的“快镜”上就比较明显。

对使用球面镜的小望远镜，当焦比低于f/10时，来自远处的点光源（例如恒星）就不能聚集在一个点上。特别是来自镜面边缘的光线比来自镜面中心的光线更不易聚焦，这造成影像因为球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低于f/10的望远镜通常都使用非球面镜或加上修正镜。

在透镜系统中，可以使用凸透镜和凹透镜的组合来减少球面像差，就如同使用非球面透镜一样。

球面像差。一个理想的镜面(顶端)，能经所有入射的光线汇聚在光轴上的一个点，但一个真实的镜面(底端)会有球面像差：靠近光轴的光线会比离光轴较远的光线较为紧密的汇聚在一个点上，因此光线不能汇聚在一个理想的焦点上(图较为夸张)
一个点光源在负球面像差(上) 、无球面像差(中)、和正球面像差(下)的系统中的成像情形。左面的影像是在焦点内成像，右边是在焦点外的成像
平行光束通过透镜后聚焦像的纵切面，上：负球面像差，中：无球面像差，下：正球面像差。镜子位于图的左侧
来自球面镜的球面像差

球面像差公式

单球面

一个球面，PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点距离，球面左右介质的折射率分别为n，n'；非近轴入射角，折射角分别为J，J'；非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U，U'；近轴光线的入射角为i；这个球面对球面像差的贡献为^[1]

球面像差= ${\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}}$

在四种情况下，球面像差为零：

PA=0：物体和像与球面顶点重合；
I'=I：物体和物象在球面的曲率中心；
i=0；
I=U'或I'=U：在这种情形下的球面成为消球差曲面。

消球差球面

根据球面折射的基本方程可以导出^[2]：

$L={\frac {r*(n+n')}{n}}$

$L'={\frac {r*(n+n')}{n'}}$

对于消球差曲面，凡是射向同一点B入射光，其折射线与光轴相交于一个共同点B'。

$BC=L-r=r*{\frac {n}{n'}}$

$BC=L'-r=r*{\frac {n'}{n}}$

例如，n=1，n'=1.5^[3]。

$L=2.5*r$

$L'=1.6667*r$

消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜^[4]^[3]。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面镜组成，对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度^[5]。

同轴球面系

对于一个由多个球面组成镜头，球面像差由以下公式给出^[6]：

LA'=trans+newsp

其中 trans= ${\frac {LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}}$

newsp= $\sum _{k=1}^{k}({\frac {-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}}$

球面像差展开式

球面像差可表示为

LA'= $a*Y^{2}+b*Y^{4}+c*Y^{6}+$ ………………^[7]^[8]。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。

薄透镜组的球面像差

亚历山大·尤金·康拉迪推导出薄透镜组的球面像差公式如下^[9]^[10]:

SC= ${\frac {y^{4}}{n_{0}'*u_{0}^{2}}}*\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})$ 。

其中“0”代表最后的结果，Σ代表对各镜片之和

c={\frac {1}{f*(n-1)}}

c={\frac {1}{r_{1}}}

G_{1}={\frac {n^{2}*(n-1)}{2}}

G_{2}={\frac {1}{2}}*(2*n+1)(n-1)

G_{3}={\frac {1}{2}}*(3n+1)(n-1)

G_{4}={\frac {1}{2*n}}*(n+2)(n-1)

G_{5}{\frac {1}{2*n}}*(n^{2}-1)

G_{6}={\frac {1}{2*n}}*(3*n+2)

薄透镜的球面像差

对于单薄镜片，上式可简化为^[11]。

单镜片的球面像差=LA'= $-y^{2}*l'^{2}*(\sum (G_{1}*c^{3}-G_{2}*c^{2}*c_{1}+G_{3}*c^{2}*v_{1}+G_{4}*c*c_{1}*v_{1}+G_{6}*c*v_{1}^{2})$

令上式对c_1的导数为零，可求得单镜片具有最小球面像差的条件^[12]:

${\frac {dLA'}{dc_{1}}}$ = $-y^{2}*l'^{2}*(-G_{2}*c^{2}+2*G_{4}*c*c_{1}-G_{5}*c*v_{1})=0$

即 $c_{1}={\frac {G_{2}c+G_{5}v_{1}}{2G_{4}}}$ = ${\frac {0.5*n*(2*n+1)*c+2*(n+1)*v_{1}}{n+2}}$ .

当物距为无穷远时，v_1=0;

于是

${\frac {c_{2}}{c_{1}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {2n-n-4}{n*(2n+1)}}$ ^[13]。


n	r_1/r_2
1.5	-6
1.518	-6.7374
1.6	-14
1.7	93.5
1.8	12.1765
2	5
3	1.9
4	1.5

参考文献

^ Kingslake p104
^ Rudolf Kingslake p104-105
^ ^3.0 ^3.1 Rudolf Kingslake p105
^ Moritz von Rohr p244
^ Rudolf Kingslake p106
^ Rudolf Kingslake p104
^ A.E.Conrady p101
^ Kingslake p114
^ Alexander Eugen Conrady, p95
^ Kingslake p117
^ Kingslake p118
^ Kingslake, p118
^ Kingslake p119

von Rohr莫里兹·冯·罗尔, Moritz. Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments. H.M.STATIONARY, LONDON. 1920.

Conrady亚历山大·尤金·康拉迪, Alexander Eugen. applied Optics & Optical design. DOVER PUBLICATION. 1957.

Kingslake 鲁道夫·京斯莱克, Rudolf. LENS DESIGN FUNDAMENTALS. ACADEMIC PRESS,NEW YORK. 1978. ISBN 012374301X.

查论编光学像差
散焦（英语：Defocus aberration）
倾斜像差（英语：Tilt (optics)）
球面像差
像散
彗形像差
畸变
佩兹瓦尔像场弯曲
色差

查论编应用光学
原理	光路计算球面折射阿贝正弦条件
像差	色差球面像差彗形像差畸变像散佩兹瓦尔像场弯曲
透镜	薄透镜库克三分离物镜天塞镜头普拉纳结构

球面像差公式

球面像差展开式

薄透镜组的球面像差

薄透镜的球面像差

参考文献

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