有序域

在数学的一个分支代数中，有序域是一个全序关系通过加法和乘法运算不被改变的域。有序域最常见的例子是实数。

定义

一个满足下面两个条件的、拥有全序关系$\leq$的域$(K,+,\cdot )$被定义为有序域：对于任何$K$中的元素$a,b,c$以下两个条件获得满足：

• 若$a\leq b$，则$a+c\leq b+c$。
• 若$0\leq a$且$0\leq b$，则$0\leq a\cdot b$。

大于0的元素被称为是正的，小于0的元素被称为是负的。

特性

由以上定义可以直接推导出以下特性（$a,b,c,d$是$K$的元素）：

• 一个正的元素的负数是负的，一个负的元素的负数是正的：即任何$K$中的$a$，假如$a\neq 0$则$-a<0<a$或$a<0<-a$。
• 不等式可以相加：$a\leq b$和$c\leq d$则$a+c\leq b+d$。
• 不等式可以与正元素相乘：$a\leq b$和$0\leq c$则$ac\leq bc$。
• 平方数不是负的：$0\leq a^{2}$，尤其$0<1$。
• 通过数学归纳法可以推导出任何一的有限的和是正的：$0<1+1+\cdots +1$。

结构

所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性$0<1+1+\cdots +1$。

每个有序域的子域也是有序域。任何含特征数0的域其最小子域与有理数同构，且这个子域的排序与$\mathbb {Q}$一致。

假如一个有序域中的任何元素都介于两个有理数之间的话，则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的，而超实数则不具有。

有序域$K$的排序可用来定义$K$的拓扑空间，这个拓扑空间可由$\{x\in K\mid x<a\}$和$\{x\in K\mid x>a\}$作为准基来生成，称之为序拓扑。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。

例子

• 有理数$\mathbb {Q}$组成最小的有序域
• 实数$\mathbb {R}$和其中的任何部分域
• 超实数