五边形

正五边形
一个正五边形
类型	正多边形
对偶	正五边形（本身）
边	5
顶点	5
对角线	5
施莱夫利符号	{5}
考克斯特符号
对称群	二面体群 (D5), order 2×5
面积	${\frac {5}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{5}}$ $\approx 1.720477400589a^{2}$
内角（度）	108°
内角和	540°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形

在几何学中，五边形是指有五条边和五个顶点的多边形，其内角和为540度。

五边形可以分为凸五边形和非凸五边形，其中非凸五边形包含了凹五边形和另一种边自我相交的五角星。最简单的五角星可借由将正五边形的对角线连起来构成。

正五边形

正五边形是指五个边等长且五个角等角的五边形，其内角为108度，是一种正多边形，在施莱夫利符号中可以用$\left\{5\right\}$来表示。

正五边形的中心角为72度，其具有五个对称轴，其旋转对称性有5个阶（72°、144°、216° 和 288°）。

高$={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot$边长$\approx 1.539\cdot$边长

宽$={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot$边长$\approx 1.618\cdot$边长

对角线长$=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,$

其中$R$为外接圆半径。

边长为$t$的正凸五边形面积可以将之分割成5个等腰三角形计算：

$A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1.720t^{2}.$

正五边形不能镶嵌平面，因为其内角是108°，不能整除360°。截至2015年 (2015-Missing required parameter 1=month!)，2017年5月，里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形镶嵌平面情况。。

面积公式推导

正多边形的面积公式为：

$A={\frac {1}{2}}Pr$

其中，$P$是周长、$r$是边心距。正五边形的$P$和$r$可由三角函数计算：

$A={\frac {1}{2}}\times 5t\times {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}$

其中，$t$是正五边形的边长。

内切圆半径

正五边形是一个圆外切多边形，因此有内切圆。其内切圆半径与边心距相同，并且可以尤其边长来决定。

$r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t$

其中，$r$为内切圆半径与边心距相同、t为正五边形边长。

构造

里士满提出了一个构造正五边形的方法，并且在克伦威尔的《多面体》中被进一步讨论。。

右上的图显示了里士满绘制正五边形的方法。先利用单位圆决定五边形的半径。$C$为单位圆圆心，$M$是圆$C$半径的中点。$D$是位于垂直于$MC$的另外一条半径的圆周上。作$\angle CMD$的角平分线，令$Q$为$\angle CMD$的角平分线与$CD$的交点。作过$Q$平行于$MC$的直线，令之与圆$C$相交的交点为$P$，则$DP$为正五边形的边长。

这条边的长度可以利用圆下方的两个直角三角形$DCM$和$QCM$。利用勾股定理，较大的三角形斜边为${\frac {\sqrt {5}}{2}}\scriptstyle$。小三角形其中一股h可由半角公式求得：

$\tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,$

其中，角$\phi$可由大三角形求得，其值为：

$h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .$

由此可得到在下图正五边形的边长的一些相关值。右侧三角形的边长$a$可借由再带一次勾股定理得：

$a^{2}=1-h^{2}\ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .$

欲求出五边形边长$s$可透过左侧的三角形，由勾股定理得：

$s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\$

$={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .$

使用圆规与直尺建构出正五边形。

五边形边长$s$为：

$s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,$

得到了正确的结果因此此种构造正五边形的方法是有效的。

约公元前300年，欧几里得在他的《几何原本》中描述了一个用直尺和圆规做出正五边形的过程。

物理方法

打一个反手结的长条纸张

正五边形可以借由尝试在一张长条纸张上打一个反手结，并将多出来的部分向后折来构造。这种折法被用在折纸星星上。

等边五边形

有两个直角的等边五边形

等边五边形是指五条边等长的五边形。等边五边形不一定是正五边形。由于其内角可以取自一个范围内的集合，而形成一个等边五边形的群，相比之下，正五边形由于其内角也固定了，因此是唯一的。

有两个直角的等边五边形由于外形与有屋顶的房屋形状非常相似，因此通常用作房子的符号。

五边形镶嵌

主条目：五边形镶嵌

五边形镶嵌是指用全等的五边形没有空隙地填满整个平面的镶嵌图形。2017年5月，里昂高等师范学校Michaël Rao宣称已证明只存在15种凸五边形镶嵌平面情况。

扭歪五边形

涂上黄色的边是一个扭歪五边形，位于四维正五胞体的施莱格尔图的透视投影。

扭歪五边形，又称不共面五边形，是指顶点并非完全共面的五边形。

皮特里多边形

一些高维度多胞体的皮特里多边形是扭歪五边形，例如四维正五胞体。

类五边形形

主条目：类五边形形

类五边形形是五边形在其他维度的类比，只存在于四维或以下的空间。这些形状都具有H_n的考克斯特群，其中正五边形为H₂，阶数为10。

维度	二维	三维	四维
类五边形形
对偶

由五边形组成的多面体

有一些多面体由五边形构成，最常见的就是正十二面体，是一个由正五边形组成的正多面体。

Ih	Th	Td	O	I	D5d
正十二面体	黄铁矿形五角十二面体	五角三四面体	五角二十四面体	五角六十面体	截对角五方偏方面体

参见

• 五边形镶嵌