维基百科:知识问答/存档/2024年11月

已知三角形三邊邊長呈實數等比數列，且至少有一個內角是60度，試證明此三角形為正三角形。

如題。謝謝！---游蛇脫殼/克勞棣 2024年10月29日 (二) 15:50 (UTC)

可以假設，另外兩個內角分別是 60-x 和 60+x，三邊為 a/r、a、ar。

利用正弦定理，可以求出r=1。

三邊等長，所以此三角形是正三角形。--211.21.210.74（留言） 2024年10月30日 (三) 01:08 (UTC)

不可以這樣假設，我只有說三邊邊長呈等比數列，沒有說三內角角度呈等差數列。

這是閣下額外添加的條件，沒有必然的因果關係，或者更準確地說，這因果關係本身就是本題要證明的事項。---游蛇脫殼/克勞棣 2024年10月30日 (三) 08:53 (UTC)

三角形内角和为180度，已知其中一个角为60度，则另外两个角必然是60-x和60+x。--CaiDie（留言） 2024年10月31日 (四) 03:31 (UTC)

@克勞棣

如果你介意這點的話，可以把另外兩個內角設成x和120-x。

最後結果仍然可以求出r=1。--36.234.14.11（留言） 2024年10月31日 (四) 14:14 (UTC)

好吧！但那個已知的60度的對邊邊長為什麼是等比數列的第二項，而不是第一項或第三項呢？-游蛇脫殼/克勞棣 2024年10月31日 (四) 17:18 (UTC)

因為題目已經告知其中一角是60度，則另外兩角和必定為120度。

此兩角的值不論怎麼假設，一定會是其中一角小於等於60度，另外一角大於等於60度。--211.21.210.74（留言） 2024年11月1日 (五) 01:34 (UTC)

我上一個問題是問邊長，不是角度。---游蛇脫殼/克勞棣 2024年11月1日 (五) 08:13 (UTC)

大角对大边--2A0C:5A82:E212:1200:D8B2:E737:24D6:8825（留言） 2024年11月2日 (六) 09:43 (UTC)

好！60度角的對邊邊長是等比數列的第二項，那麼請問接下來怎麼用正弦定理證明這題呢？

我自己是用餘弦定理做，用正弦定理反而被我搞得很複雜，實在不知道怎麼進行下去。

或是閣下用餘弦定理做做看，展示是否和我的思路一樣。謝謝！---游蛇脫殼/克勞棣 2024年11月2日 (六) 12:33 (UTC)

餘弦定理：

$cos60={\frac {(ar)^{2}+({\frac {a}{r}})^{2}-a^{2}}{2a({\frac {a}{r}})}}={\frac {1}{2}}$

上下同除$a^{2}$，得到${\frac {r^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}-1}{2}}={\frac {1}{2}}$，可以解得$r=1$

正弦定理：(假設x是小於等於60的角)

${\frac {sin60}{a}}={\frac {sinx}{\frac {a}{r}}}={\frac {sin(120-x)}{ar}}$

得到聯立方程式${\begin{cases}{\frac {1}{r}}sin60=sinx\\rsin60=sin(120-x)\end{cases}}$

上下兩式相加，$(r+{\frac {1}{r}})sin60=sinx+sin(120-x)=2sin60cos(60-x)$

化簡得到$r+{\frac {1}{r}}=2cos(60-x)\leq 2$

另外，利用算幾不等式，可以得到${\frac {r+{\frac {1}{r}}}{2}}\geq {\sqrt {r({\frac {1}{r}})}}=1$

結合兩個不等式，$r+{\frac {1}{r}}$只能等於2。

又因為算幾不等式的等號成立，可以得到$r={\frac {1}{r}}=1$--2001:B011:8016:F994:6C78:4FF:718:1DA6（留言） 2024年11月3日 (日) 03:04 (UTC)

抱歉筆誤，餘弦定理第一行的分母少了一個r。--2001:B011:8016:F994:6926:FCD3:CECF:EF62（留言） 2024年11月3日 (日) 05:34 (UTC)

設此等比數列由小至大是a,b,c，則$b^{2}=ac$，

又$\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

$a^{2}+c^{2}-b^{2}=ac$

$a^{2}+c^{2}-2ac=0$

$(a-c)^{2}=0$

$a=c$

$b^{2}=ac=a^{2}$

$b=a$

故$a=b=c$---游蛇脫殼/克勞棣 2024年11月3日 (日) 11:30 (UTC)

已知三角形三邊邊長呈實數等差數列，且至少有一個內角是60度，試證明此三角形為正三角形。

如題。謝謝。---游蛇脫殼/克勞棣 2024年10月29日 (二) 15:51 (UTC)

阁下同时发布了两个相同的问题，是否可以考虑将本问题删除？谢谢。--CHNAQW（戳我进入讨论页！o(*^▽^*)o~） 2024年11月1日 (五) 08:06 (UTC)

並沒有相同。一個是邊長呈等比數列，一個是等差數列。雖然結果一樣，但起始條件不同。---游蛇脫殼/克勞棣 2024年11月1日 (五) 08:19 (UTC)

和上題一樣，設x為小於等於60度的角，三邊由小至大分別為a-d、a、a+d。

利用正弦定理，${\frac {sin60}{a}}={\frac {sinx}{a-d}}={\frac {sin(120-x)}{a+d}}$

得到聯立方程${\begin{cases}(a-d)sin60=asinx\\(a+d)sin60=asin(120-x)\end{cases}}$

上下兩式相加，$2asin60=asinx+asin(120-x)$

左右兩邊同除以a，最後可以得到$cos(60-x)=1$

$x=60$，三個內角都是60度，所以此三角形是正三角形。

利用餘弦定理，$cos60={\frac {(a-d)^{2}+(a+d)^{2}-a^{2}}{2(a+d)(a-d)}}={\frac {1}{2}}$

最後可以解出$d=0$，三邊等長，此三角形是正三角形。--2001:B011:8016:F994:6926:FCD3:CECF:EF62（留言） 2024年11月3日 (日) 05:55 (UTC)

設此等差數列由小至大是a,b,c，則$a+c=2b$

$(a+c)^{2}=(2b)^{2}\rightarrow a^{2}+c^{2}+2ac=4b^{2}\rightarrow a^{2}+c^{2}=4b^{2}-2ac$

又$\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

$a^{2}+c^{2}-b^{2}=ac$

$(4b^{2}-2ac)-b^{2}=ac$

$3b^{2}=3ac$

$b^{2}=ac$

因此a,b,c同時也呈等比數列

易知a,b,c若同時呈等差數列與等比數列，則a=b=c---游蛇脫殼/克勞棣 2024年11月3日 (日) 11:43 (UTC)