雷登轉換將函數
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
f
(
α
,
s
)
{\displaystyle f(\alpha ,s)}
本圖是將下圖做雷登轉換後得到的影像，越亮的區域代表值越大，黑色的區域為0。 原始函數是白色區域為1，黑色區域為0。 數學 上，雷登變換是一種積分變換 ，這個轉換將函數
f
{\displaystyle f}
R
f
{\displaystyle Rf}
雷登變換是Johann Radon在西元1917年提出[ 1] X-ray transform )。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間 的雷登轉換被提出，更詳盡的廣義雷登轉換要查Integral geometry 。
在複數 上有和雷登轉換相似的Penrose transform ，雷登轉換被廣泛的應用在斷層掃描 ，從斷層掃描的剖面圖重建出投影的資料。
若函數
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
三維重建 。
雷登轉換後的訊號稱作"正弦圖"，因為一個偏離中心的點的雷登轉換是一個正弦曲線。所以對一些小點的雷登轉換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數 重疊在一起。
雷登轉換可以應用在：X射線電腦斷層掃描 、條碼 掃描器、macromolecular assemblies 的電子顯微鏡 例如：病毒 、Reflection seismology 、蛋白質複合體 ，而且也是雙曲線
偏微分方程 的解。
令密度函數
f
(
x
)
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f({\bf {x}})=f(x,y)}
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
R
{\displaystyle R}
R
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle Rf(x,y)}
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
L ，它的定義如下
R
f
(
L
)
=
∫
L
f
(
x
)
|
d
x
|
{\displaystyle {\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|}
對於一個弧長
z
{\displaystyle z}
L
{\displaystyle L}
(
x
(
z
)
,
y
(
z
)
)
=
(
(
z
sin
α
+
s
cos
α
)
,
(
−
z
cos
α
+
s
sin
α
)
)
{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}
s
{\displaystyle s}
L
{\displaystyle L}
α
{\displaystyle \alpha }
L
{\displaystyle L}
x
{\displaystyle x}
(
α
,
s
)
{\displaystyle (\alpha ,s)}
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
R
f
(
α
,
s
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
(
z
)
,
y
(
z
)
)
d
z
=
∫
−
∞
∞
f
(
(
z
sin
α
+
s
cos
α
)
,
(
−
z
cos
α
+
s
sin
α
)
)
d
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}}
更進一步，我們可以把
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
{\displaystyle f}
R
f
{\displaystyle Rf}
∑
n
{\displaystyle \sum _{n}}
超平面 上，
R
f
(
ξ
)
=
∫
ξ
f
(
x
)
d
σ
(
x
)
,
f
o
r
ξ
∈
∑
n
{\displaystyle {\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \sum _{n}}
對所有
x
⋅
α
=
s
.
{\displaystyle {\bf {x}}\cdot \alpha =s.}
而
α
{\displaystyle \alpha }
單位向量 且屬於
S
n
−
1
{\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}}
s
∈
R
{\displaystyle s\in \mathbb {R} }
S
n
−
1
×
R
{\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}}
R
f
(
α
,
s
)
=
∫
x
⋅
α
=
s
f
(
x
)
d
σ
(
x
)
{\displaystyle {\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )}
也能把仿射子空間，而這種推廣雷登變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描 ，他的做法是對一條直線積分。
主條目：Projection-slice theorem
雷登變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是
f
^
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ω
d
x
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx}
而雙變數
(
x
)
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle ({\bf {x}})=(x,y)}
f
^
(
w
)
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
⋅
w
d
x
d
y
{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy}
把雷登轉換的運算子的表記從
R
[
f
]
(
s
)
{\displaystyle {\cal {R}}[f](s)}
R
[
f
]
(
α
,
s
)
{\displaystyle {\cal {R}}[f](\alpha ,s)}
Projection-slice theorem 學說，
R
α
[
f
]
^
(
σ
)
=
f
^
(
σ
n
(
α
)
)
{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}
n
(
α
)
=
(
cos
α
,
sin
α
)
{\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}
因此一個初始函數沿著一條線傾角
α
{\displaystyle \alpha }
f
^
(
r
α
)
=
∫
−
∞
∞
R
f
(
α
,
s
)
e
−
2
π
i
s
r
d
s
{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds}
對偶雷登轉換是雷登轉換的埃爾米特伴隨 。令在空間
∑
n
{\displaystyle \sum _{n}}
g
{\displaystyle g}
R
∗
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}}
g
{\displaystyle g}
R
∗
g
(
x
)
=
∫
x
∈
ξ
g
(
ξ
)
d
μ
(
ξ
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )}
積分的範圍是所有和
x
∈
R
2
{\displaystyle x\in {\bf {R}}^{2}}
d
μ
{\displaystyle d\mu }
ξ
|
x
∈
ξ
{\displaystyle \xi |x\in \xi }
x
{\displaystyle x}
d
μ
{\displaystyle d\mu }
對於一個二維的雷登轉換，其對偶轉換是
R
∗
g
(
x
)
=
1
2
π
∫
α
=
0
2
π
g
(
α
,
n
(
α
)
⋅
x
)
d
α
{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha }
在影像處理的文章中，對偶轉換經常被稱作反向傳播算法 (back propagation) [ 2]
交結性質
拉普拉斯算子
Δ
{\displaystyle \Delta }
R
n
{\displaystyle {\bf {R}}^{n}}
Δ
=
∂
2
∂
x
1
2
+
⋯
+
∂
2
∂
x
n
2
{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}
這是一個旋轉不變性 的二階微分算子 ，在空間
∑
n
{\displaystyle \sum _{n}}
L
f
(
α
,
s
)
≡
∂
2
∂
s
2
f
(
α
,
s
)
{\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}
也是旋轉不變性 。
而雷登轉換與其對偶轉換屬於交結運算子(intertwining operator)，是因為
R
(
Δ
f
)
=
L
(
R
f
)
,
R
∗
(
L
g
)
=
Δ
(
R
∗
g
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)}
重建處理 是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數
f
{\displaystyle f}
逆問題 (inverse problem)。
雷登反轉換公式
對於二維雷登轉換，最常被使用的解析公式(analytical formula)
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
∫
0
π
(
R
f
(
⋅
,
θ
)
∗
h
)
(
⟨
x
,
n
θ
⟩
)
d
θ
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta }
[ 3] 函數
h
{\displaystyle h}
h
^
(
k
)
=
|
k
|
{\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}
[ 4]
h
{\displaystyle h}
不適定問題 (ill-posedness)
直覺上，反轉換公式應該和微分類似，
d
d
x
^
f
(
x
)
=
i
k
f
^
(
k
)
{\displaystyle {\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)}
R
∗
R
g
^
(
k
)
=
1
|
|
k
|
|
g
^
(
k
)
{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}
R
∗
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}}
g
(
x
)
=
e
i
⟨
k
0
,
x
⟩
{\displaystyle g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}
R
∗
R
g
=
1
|
|
k
|
|
e
i
⟨
k
0
,
x
⟩
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}
複數指數函數
e
i
⟨
k
0
,
x
⟩
{\displaystyle e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}
R
∗
R
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}}
固有函數 (eigenfunction) ，
而特徵值 (eigenvalue)為
1
|
|
k
|
|
{\displaystyle {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}
R
{\displaystyle {\cal {R}}}
1
|
|
k
|
|
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}}
R
−
1
{\displaystyle {\cal {R}}^{-1}}
[ 5]
^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRadon1917 ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRoerdink2001 ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture09.pdf ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf
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}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f797153d26de6695006b53c3d5b374b62fe439)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca05f39a823774598e430ff88eecc89ddd009da8)
![{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edfc2efb58787175cd3494b406d8aa539f4d7d4f)
