群的直和

在數學中，群 G 叫做子群的集合 {H_i} 的直和，如果

• 每個 H_i 是 G 的正規子群，
• 每對不同的子群都有平凡的交集，并且
• G = <{H_i}>；換句話說，G 是子群 {H_i} 生成的。

解說

如果 G 是子群 H 和 K 的直和，則我們寫為 G = H + K；如果 G 是子群集合 {H_i} 的直和，我們經常寫為 G = ∑H_i。不嚴格的說，直和同構於子群的弱直積。

在抽象代數中，這種構造方法可以推廣為向量空間、模和其他結構的直和；詳情參見條目直和。

這個符號是符合交換律的；所以在兩個子群的直和的情況下，G = H + K = K + H。它還是符合結合律的，在如果 G = H + K 并且 K = L + M 則 G = H + (L + M) = H + L + M 的意義上。

可以表達為非平凡子群的直和的群被叫做“可分解”的；否則叫做“不可分解”的。

如果 G = H + K，則可以證明:

• 對於所有 H 中的 h 和 K 中的 k，有 h*k = k*h。
• 對於所有 G 中的 g，存在唯一的 H 中的 h 和 K 中的 k 使得 g = h*k。
• 有直和在商群中的消除，即 (H + K)/K 同構於 H。

上述斷言可以推廣到 G = ∑H_i 的情況，這里的 {H_i} 是子群的有限集合。

• 如果 i ≠ j，則對于所有 H_i 中的 h_i 和 H_j 中的 h_j，有著 h_i * h_j = h_j * h_i。
• 對於每個 G 中的 g，有唯一的 {h_i ∈ H_i} 使得

g = h₁*h₂* ... * h_i * ... * h_n。

• 有直和在商群中的消除；即 ((∑H_i) + K)/K 同構於 ∑H_i。

注意類似於直積，這里的每個 g 可以唯一的表達為

g = (h₁,h₂, ..., h_i, ..., h_n)。

因為 h_i * h_j = h_j * h_i 對於所有 i ≠ j，可推出在直和中的元素的乘積同構於對應的在直積中的元素的乘積；因此對於子群的有限集合，∑H_i 同構於直積 ×{H_i}。

直和的等價

直和對於群不是唯一的；例如在克萊因四元群 V₄ = C₂ × C₂ 中，我們有

V₄ = <(0,1)> + <(1,0)> 和

V₄ = <(1,1)> + <(1,0)>。

但是，Remak-Krull-Schmidt定理聲稱給定有限群 G = ∑A_i = ∑B_j，這里的每個 A_i 和每個 B_j 都是不平凡的并且不可分解的，則兩直和分別涉及到的子群在重新排序后同构意义下是等價的。

Remak-Krull-Schmidt 定理對無限群無效，所以在無限 G = H + K = L + M 的情況下，即使在所有子群都是非平凡的并且不可分解的，我們不能假定 H 同構於要么 L 要么 M。

推廣到在無限集合上的和

如果我們希望在 G 是子群的無限(可能不可數)集合的直和的情況下描述上述性質，我們需要更加的小心。

如果 g 是群的集合的笛卡爾積 ∏{H_i} 的元素，設 g_i 是在乘積中的 g 的第 i 個元素。 群的集合 {H_i} 的外直和(寫為 ∑_E{H_i}) 是 ∏{H_i} 的子集，這里對於每個 ∑_E{H_i} 的元素 g，g_i 是單位元 $e_{H_{i}}$ 對於除了有限個之外的所有 g_i (等價的說只有有限個 g_i 不是單位元)。在外直和中的群運算是逐點乘法，如在平常直積中那樣。

應當容易的明白這個子集確實形成了群；對于群 H_i 的無限集合，外直和同一於直積。

那么如果 G = ∑H_i，則 G 同構於 ∑_E{H_i}。因此在某種意義上，直和是“內部”外直和。我們有了對於每個 G 中的元素 g，有一個唯一有限集合 S 和唯一的 {h_i ∈ H_i : i ∈ S} 使得 g = ∏ {h_i : i ∈ S}。