卡倫數

卡倫數是形式如$n\times 2^{n}+1$（寫作$C_{n}$）的自然數。

若質數$p=8k-3=2n-1$，$C_{n}$能被$p$整除。根據費馬小定理，若p是奇質數，$p$能整除$C_{m(k)}$對於$m(k)=(2^{k}-k)(p-1)-k$ (對於$k>0$)。

廣義卡倫數有時定義為$n\times b^{n}+1$而且$n+2>b$。胡道爾數有時稱為第二種卡倫數。

歷史和卡倫質數

1905年，詹姆士·卡倫首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核實$C_{141}$是質數，且證明了若$n\leq 1000$，除了$C_{1}$和$C_{141}$之外，$C_{n}$均為合成數。

1984年Wilfrid Cellar又類似地核實了$C_{4713},C_{5795},C_{6611},C_{18496}$ 和以上提到的卡倫質數之外，$n\leq 30000$的$C_{n}$均為合成數。

截止2009年4月，已知的卡倫質數有141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (OEIS:A005849)，n=1354000以下的卡倫質數已被找到。可是，「存在無限個卡倫質數」這問題仍屬猜想。

是否存在質數$p$使得$C_{p}$為質數同樣為疑問。

參考

• Cullen, James (1905). Question 15897. Educ. Times (December 1905), 534.