单位向量

二維空間的單位向量

数学上，赋范向量空间中的单位向量就是长度为 1 的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”，如：$\mathbf {\hat {i}}$ 。欧几里得空间中，两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦（因为它们的长度都是1）。

一个非零向量 $\mathbf {u}$ 的正规化向量 $\mathbf {\hat {u}}$ 就是平行于 $\mathbf {u}$ 的单位向量：

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

这里 $\|\mathbf {u} \|$ 是 $\mathbf {u}$ 的范数（长度）。正规化向量有时候也可以当作单位向量的同义词。

一组基的元素通常被选为单位向量。在三维直角坐标系中，通常是 $\mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}}$，分别为沿着 $x,y,z$ 方向的单位向量：

$\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

在其他坐标系中，如极坐标系、球坐标系，使用不同的单位向量，符号也会不一样。