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協態方程

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協態方程（costate equation）和最优控制中用到的狀態方程有關^[1]^[2]，也稱為輔助方程、伴隨方程、影響方程或是乘數方程。協態方程是向量一階常微分方程

{\dot {\lambda }}^{\mathsf {T}}(t)=-{\frac {\partial H}{\partial x}}

其中等式的右邊為哈密頓量（ $H$ ）對狀態變數偏导数的負值。

解釋

協態變數 $\lambda (t)$ 可以解釋為狀態方程相關的拉格朗日乘数。狀態方程表示最小化問題中的限制條件，協態變數則是違反這些條件的边际成本，在經濟學中協態變數即為影子价格^[3]。

求解

狀態方程和初始條件有關，會從起始時間開始，往後求解。協態方程和邊界條件有關，需從最終時間開始，往前求解。進一步的細節可參考庞特里亚金最小化原理^[4]。

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參考資料

^ Kamien, Morton I.; Schwartz, Nancy L. Dynamic Optimization Second. London: North-Holland. 1991: 126–27. ISBN 0-444-01609-0.
^ Luenberger, David G. Optimization by Vector Space Methods. New York: John Wiley & Sons. 1969: 263.
^ Takayama, Akira. Mathematical Economics. Cambridge University Press. 1985: 621.
^ Ross, I. M.（英语：I. Michael Ross） A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control, Collegiate Publishers, 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9.

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