协变经典场论

近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。 本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。

记法

本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令${\bar {\Gamma }}(\pi )$表示有紧支撑的$\pi \,$的截面。

作用量积分

一个经典场论数学上可以如下表述

• 一个纤维丛 $({\mathcal {E}},\pi ,{\mathcal {M}})$，其中${\mathcal {M}}$表示一个$n\,$维时空。
• 一个拉格朗日量形式 $\Lambda :J^{1}\pi \rightarrow \Lambda ^{n}M$

令$\star 1\,$代表$M\,$上的体积形式，则$\Lambda =L\star 1\,$，其中$L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb {R}$是拉格朗日量函数。 我们在 $J^{1}\pi \,$上选择纤维化坐标$\{x^{i},u^{\alpha },u_{i}^{\alpha }\}\,$，使得

$\star 1=dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}$

作用量积分定义为

$S(\sigma )=\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma )^{*}\Lambda \,$

其中$\sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )$，并定义于开集$\sigma ({\mathcal {M}})\,$，而$j^{1}\sigma \,$代表其第一射流延长(jet prolongation)。

作用量积分的变分

截面$\sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,$的变分由曲线$\sigma _{t}=\eta _{t}\circ \sigma \,$给出，其中$\eta _{t}\,$是一个${\mathcal {E}}\,$上的$\pi \,$-竖直向量场$V\,$的流，它在${\mathcal {M}}\,$上有紧支撑。 截面$\sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,$称为变分的驻点，如果

$\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma _{t})^{*}\Lambda =0\,$

这等价于

$\int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\Lambda =0\,$

其中$V^{1}\,$代表$V\,$的第一延长，按李导数的定义。 使用嘉当公式，${\mathcal {L}}_{X}=i_{X}d+di_{X}\,$， 斯托克斯定理以及$\sigma \,$的紧支撑，可以证明这等价于

$\int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =0\,$

欧拉－拉格朗日方程

考虑一个${\mathcal {E}}$的$\pi \,$-竖直向量场

$V=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,$

其中$\beta ^{\alpha }=\beta ^{\alpha }(x,u)\,$。采用切触形式 $\theta ^{j}=du^{j}-u_{i}^{j}dx^{i}\,$ on $J^{1}\pi \,$，我们可以计算$V\,$的第一延长。然后得到

$V^{1}=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}\,$

其中$\gamma _{i}^{\alpha }=\gamma _{i}^{\alpha }(x,u^{\alpha },u_{i}^{\alpha })\,$。 据此，可以证明

$i_{V^{1}}d\Lambda =\left[\beta ^{\alpha }{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\right]\star 1\,$

因而

$(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =\left[(\beta ^{\alpha }\circ \sigma ){\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}\circ \sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}\circ \sigma \right){\frac {\partial \sigma ^{j}}{\partial x^{i}}}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right]\star 1\,$

分部积分并考虑$\sigma \,$的紧支撑，临界条件变为

$\int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda \,$	$=\int _{\mathcal {M}}\left[{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)\right](\beta ^{\alpha }\circ \sigma )\star 1\,$
	$=0\,$

因为$\beta ^{\alpha }\,$为任意函数，我们得到

${\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)=0\,$

这些就是欧拉－拉格朗日方程组。

参看

• 经典场论
• 外代数
• 纤维丛
• 射流
• 量子场论

参考

• Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958
• De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3
• Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8
• Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003
• Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories, May 1995