三分之一角公式

三分之一角公式，為三角恆等式的一種，是三等分角問題在代數上的一個解。由於該解不一定是規矩數因此也可以證明三等分角尺規作圖的不可行性 。

尺規作圖

尺規作圖三等分角已被證實不可行，其也與三分之一角公式非規矩數的推導有關，其證明如下：設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是$\theta$的角，均可以由尺規作圖得到 角度为${\frac {\theta }{3}}$的角。这等价于说在已知单位长度和$\cos {\theta }$的时候能做出$\cos {\frac {\theta }{3}}$的长度。设L是包含了$\cos {\theta }$和单位长度1的域。用尺规作图可以得到$z=\cos {\frac {\theta }{3}}$，说明域扩张的阶数是2的幂次：

$[\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}$

然而根據三倍角公式：

$\cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z$。

运用多项式的知识可以证明，$z$在L中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3。比如说当角度$\theta =60^{\circ }$时，L就是$\mathbb {Q}$（$\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q}$）三倍角公式变成：

$4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}$，即是：

$8z^{3}-6z-1=0$

这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集$\mathbb {Q}$，所以可以证明$[\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3$。然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，無法用尺規作圖將任意角三等分。$\Box$

而上述三次方程透過三次方程求根公式求出來的解即為三分之一角公式。

公式

• 利用三倍角公式
• $\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,$
• $\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,$

把它改為：

• $\sin \theta =3\sin {\frac {\theta }{3}}-4\sin ^{3}{\frac {1}{3}}\theta \,$
• $\cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {1}{3}}\theta \,$

把$\cos {\frac {\theta }{3}}\,$當成未知數，$\cos \theta \,$當成常數項，解一元三次方程式即可求出

• $x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,$
• $x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$
• $x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$
• 當-90°≤$\theta \,$≤90°時$\sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$
• 當90°≤$\theta \,$≤450°時$\sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,$
• 當450°≤$\theta \,$≤630°時$\sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$
• 當630°≤$\theta \,$≤990°時$\sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,$

簡化

利用欧拉公式可以有效地簡化三分之一角公式

$\cos {\frac {\theta }{n}}=\Re \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)$

$\sin {\frac {\theta }{n}}=\Im \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)$

所以

$\cos {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)$

$\sin {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)$

參見

• 三等分角