边界 (拓扑学)

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集合（淺藍色）和它的邊界（深藍色）。

邊界，（英語：boundary），是點集拓樸的概念，拓扑空间 X 的子集 S 的边界是从 S 和从 S 的外部都可以接近的点的集合。更嚴格的说，它是屬於 S 的闭包但不是 S 的內點的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的邊界點（英語：boundary point）。集合 S 的边界的符号包括 bd(S)、fr(S) 和 ，$\partial S$。某些作者（比如 Willard 在 General Topology 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。

S 的边界的连通单元叫做 S的边界单元。

定义

拓扑空间$(X,\tau )$的子集$S$的边界（記為$\partial S$）有一些常用及等价的定义:

• $S$的闭包减去$S$的内部：$\partial S={\bar {S}}-S^{o}$。
• $S$的闭包和其补集的闭包的交集：$\partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X-S)}}$。
• $\partial S$是所有满足以下条件的点$x$的集合：$x$的每个邻域都包含至少一个属于$S$的點，以及至少一个不属于$S$的點。这些點$x$称为$S$的边界点。

性质

• 集合的边界是闭集。
• p 是某集合的边界点，当且仅当所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。
• 某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
• 某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是开集，当且仅当该集合与其边界不相交。
• 某集合的边界等于其补集的边界。
• 某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
• 某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集)。

举例

• 若 $X=[0,5)\,$，则 $\partial X=\{0,5\}$。
• $\partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)$
• $\partial D^{n}\simeq S^{n-1}$
• $\partial \emptyset =\emptyset$
• 在 R³ 中，若 Ω=x²+y² ≤ 1且Z=0，则 ∂Ω = Ω；但在 R² 中，∂Ω = {(x, y) | x²+y² = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。

引用

• J. R. Munkres. Topology. Prentice-Hall. 2000. ISBN 978-0-13-181629-9. 
• S. Willard. General Topology. Addison-Wesley. 1970. ISBN 978-0-201-08707-9.