良擬序

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数学分支序理论中，良擬序或良預序（英語：well-quasi-ordering，簡寫作wqo或WQO）是特殊的擬序，其元素的任意无穷序列$x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$中，必有先後兩項遞增，即存在$i<j$使$x_{i}\leq x_{j}$。

動機

良基歸納法可用於任何良基關係上，用以證明某集的全部元素皆具某性質。所以，或許會考慮某擬序是否良基。不過，良基擬序的類，對某些運算不封閉，即由某良基擬序出發，經若干運算，構造而成的新擬序，不一定良基。欲使新擬序仍為良基，原擬序需追加若干限制。

以冪集運算為例。給定集合$X$上的擬序$\leq$，可以定義冪集${\mathcal {P}}(X)$上的擬序$\leq ^{+}$，使$A\leq ^{+}B$當且僅當對$A$的每個元素，皆可在$B$中找到元素大於等於該元素。可以證明$\leq ^{+}$不必良基，但若原擬序為良擬序，則冪集的擬序確實良基。

定義

集合$X$上的良擬序（well-quasi-ordering）是一種预序关系（即滿足自反性$x\leq x$、传递性$x\leq y\wedge y\leq z\implies x\leq z$的的二元關係$\leq$），使得$X$中任意无穷序列$x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$，皆有先後兩項$x_{i}\leq x_{j}$（$i<j$）遞增。若有此種良擬序，則$X$本身稱為良擬序集（well-quasi-ordered set），簡寫為wqo。

良偏序（well-partial-ordering）既是良擬序又是偏序，即除前述條件外，尚具反對稱性$x\leq y\wedge y\leq x\implies x=y$。

良擬序有其他等價定義，如將條件改為既不含無窮嚴格遞減序列$x_{0}>x_{1}>x_{2}>\cdots$，又不含任意兩項不可比的無窮序列。換言之，擬序$(X,\leq )$為良擬序當且僅當$(X,<)$良基，且不含無窮反链。（與§ 無窮遞增子序列的拉姆齊論證相似。）

性質

• 給定擬序$(X,\leq )$，在冪集上有另一擬序$({\mathcal {P}}(X),\leq ^{+})$，其中$A\leq ^{+}B\iff \forall a\in A,\exists b\in B,a\leq b$。此關係為良基當且僅當$(X,\leq )$本身是wqo。
• 給定良擬序$(X,\leq )$，若有一列子集$S_{0}\subseteq S_{1}\subseteq \cdots \subseteq X$，其中每個子集皆向上封閉，則該序列終必恆定，即自某個$n\in \mathbb {N}$起，以後各項$S_{n}=S_{n+1}=\cdots$。假若不然，則對每個$i\in \mathbb {N}$，存在$\exists j>i$使$S_{j}\setminus S_{i}$非空，從中選一個元素，如此可得某個無窮序列，其無遞增的兩項。
• 給定良擬序$(X,\leq )$，$X$的任何子集$S$關於$\leq$僅得有限多個極小元，否則該些極小元組成無窮反鏈。

無窮遞增子序列

若$(X,\leq )$為wqo，則任意無窮序列$x_{0},x_{1},x_{2},\ldots$，皆有無窮上升子序列$x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq \cdots$（各下標$n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots$）。此種子序列或稱為「完美」（perfect）。可用拉姆齊證法：給定序列$(x_{i})_{i}$，考慮全部$i$中，何者使$x_{i}$右邊沒有任何$j>i$滿足$x_{j}\geq x_{i}$。記此種$i$的集合為$I$。若$I$無窮，則以$I$為下標集的子序列將不具遞增的兩項，與$X$為wqo的假設抵觸。所以，$I$為有限集。衹要$n$大於$I$中所有元素，則$n$不屬$I$，故有某個$m>n$使$x_{m}\geq x_{n}$，如此可逐項延伸，得到無窮遞增子序列。

「任意序列皆有無窮上升子列」與wqo的條件等價，亦可作為另一種定義。

例

圖一：整數的平常順序

圖二：自然數按整除序的哈斯圖

圖三：格網$\mathbb {N} ^{2}$逐分量排序的哈斯圖

• $(\mathbb {N} ,\leq )$，自然數集配備平常的大小序，是良偏序，乃至良序。不過，若允許負數，換成整數集的大小序$(\mathbb {Z} ,\leq )$，則並非良擬序，因為此大小關係並非良基：負數組成無遞增兩項的序列。（圖一）
• $(\mathbb {N} ,|)$，自然數集按整除序，不是良擬序：質數兩兩不可比較，組成無窮反鏈。（圖二）
• $(\mathbb {N} ^{k},\leq )$，自然數$k$元組的集合逐分量排序，是良偏序。此為迪克遜引理（圖三）。更一般地，若$(X,\leq )$為良擬序，則對任意正整數$k$，積序$(X^{k},\leq ^{k})$亦是良擬序。
• 設$X$為有限集，且至少有兩個元素。克莱尼星号$X^{*}$是字母取自$X$的全體有限字串之集。按字典序，$X^{*}$不是良擬序，因為有無窮遞降序列$b,ab,aab,aaab,\ldots$。同樣，$X^{*}$關於前綴關係亦非良擬序，因為前述序列在該偏序下是無窮反鏈。然而，$X^{*}$倘按子序列關係排序，則是良偏序。（在$X$衹有一個元素的退化情況，此三種偏序完全一樣。）
• 推而廣之，以$(X,\leq )$為字母集的有限串集$(X^{*},\leq )$，按「嵌入」排序，如此組成良擬序當且僅當$(X,\leq )$本身是良擬序，此結論稱為希格曼引理。其中所謂字串$u$可以嵌入到$v$，意思是$v$中有與$u$等長的子序列，逐項大於等於$u$。若取子母集為無序集$(X,=)$，則字串$u\leq v$當且僅當$u$是$v$的子序列，退化成前款情況。
• 相反，良擬序$(X,\leq )$上的無窮序列集，記為$(X^{\omega },\leq )$，按嵌入序，一般不為良擬序。換言之，希格曼引理不適用於無窮序列。數學家引入優擬序，以期望推廣希格曼引理。
• 以wqo $(X,\leq )$之元素標記頂點的有限樹全體，按嵌入排序，也是wqo，即克魯斯克爾樹定理。此處的樹有選定根節點，而嵌入的要求有三：某節點的子節點要映到該節點之像的後嗣；同節點的不同子節點，要映到該節點之像的不同子分支上；每個節點處的標記，小於等於其像的標記。
• 無窮樹之間的嵌入關係是wqo，由克里斯平·納許-威廉斯所證。
• 可數全序類之間的嵌入關係是良擬序，同樣散佈全序類之間亦然。（萊弗定理）
• 可數布尔代数的嵌入序是良擬序，由萊弗定理證得。
• 有限圖按图子式序組成良擬序集。（羅伯遜-西摩定理）
• 對每個正整數$t$，樹深至多為$t$的圖，按导出子图序，組成良擬序集。亦可同上考慮以良擬序$(X,\leq )$標記其頂點，並要求該導出子圖的嵌入映射，使每個頂點的像的標記皆大於等於原標記，仍得良擬序。此外，補可約圖按導出子圖序，構成良擬序。

與良偏序的關聯

字面上，良擬序較良偏序廣義，但基於以下觀察，兩者實際分別不大：一方面，wpo必為wqo。另一方面，若有某wqo，則其各等價類組成wpo。舉例整數集$\mathbb {Z}$的整除序是擬序$(\mathbb {Z} ,|)$（但不是良擬序），其等價類形如$\{\pm m\}$，所以等價類組成的偏序同構於$(\mathbb {N} ,|)$。

據米爾納，「考慮擬序，並不比偏序更為概括……僅是因為較方便。」又例如，在全序類的嵌入擬序中，開區間$(0,1)$與閉區間$[0,1]$不同構，但可互相嵌入，所以在對應偏序中屬同一等價類，托馬斯·福斯特稱該等價類「似乎不是很有啓發性」，而且，全體偏序集按包含關係組成的偏序類，雖然鏈完備，但並不完備，若改為考慮全體擬序集則不會有此問題。

參考文獻

• Kruskal, J. B. The theory of well-quasi-ordering: A frequently discovered concept [良擬序論：常發現的概念]. Journal of Combinatorial Theory. Series A. 1972, 13 (3): 297–305. doi:10.1016/0097-3165(72)90063-5  （英语）. 
• Ketonen, Jussi. The structure of countable Boolean algebras [可數布爾代數的結構]. Annals of Mathematics. 1978, 108 (1): 41–89. JSTOR 1970929. doi:10.2307/1970929 （英语）. 
• Gallier, Jean H. What's so special about Kruskal's theorem and the ordinal Γo? A survey of some results in proof theory [克魯斯克爾定與與序數Γo有何特別？證明論若干結果的綜述]. Annals of Pure and Applied Logic. 1991, 53 (3): 199–260. doi:10.1016/0168-0072(91)90022-E  （英语）.