泛包絡代數

在數學中，我們可以構造任意李代數 $L$ 的泛包絡代數 $U(L)$。李代數一般並非結合代數，但泛包絡代數則是帶乘法單位元的結合代數。李代數的表示理論可以理解為其泛包絡代數的表示理論。在幾何上，泛包絡代數可以解釋為李群上的左不變微分算子。

泛性質

以下固定域 $K$。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 $K$-結合代數 $U$，定義括積 $[a,b]:=ab-ba$，可視 $U$ 為李代數。

泛包絡代數係指帶單位元的結合代數 $U(L)$ 及一個指定的李代數同態 $i:L\to L(U)$。這對資料由下述泛性質刻劃：

對任意帶乘法單位元的 $K$-結合代數 $A$， 若存在李代數同態

$h:L\to A$。

則存在唯一的代數同態

$g:U(L)\to A$

使之滿足

$g\circ i=h$

換言之，函子 $L\mapsto U(L)$ 滿足下述關係：

$\mathrm {Hom} _{\mbox{Alg.}}(U(L),A){\stackrel {\sim }{\to }}\mathrm {Hom} _{\mbox{Lie alg.}}(L,A)$

$g\mapsto g\circ i$

藉此，可視 $U(-)$ 為 $U$（單位結合代數）$\mapsto U$（李代數）的左伴隨函子。

構造方式

首先考慮張量代數 $T(L)$，此時有自然的包含映射 $i_{0}:L\to T(L)$。取 $I\subset T(L)$ 為下列元素生成的雙邊理想

$a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\quad (a,b\in L)$

定義

$U(L):=T(L)/I$

所求的映射 $i:L\to U(L)$ 為 $i_{0}:L\to T(L)$ 與商映射的合成。容易驗證 $i$ 保存李括積。

根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。

基本性質

• 若 $L$ 可交換，則 $U(L)$ 亦然；此時 $U(L)$ 同構於多項式代數。
• 若 $L$ 來自李群 $G$，則 $U(L)$ 可理解為 $G$ 上的左不變微分算子。
• $U(L)$ 的中心 $Z(U(L))$ 顯然包含 $i(Z(L))$，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李群上的拉普拉斯算子。

庞加莱-伯克霍夫-维特定理

主条目：庞加莱-伯克霍夫-维特定理

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 $L$ 的基 $X_{1},\ldots ,X_{n}$，此定理斷言

$X_{1}^{e_{1}}\cdots X_{n}^{e_{n}}\quad (e_{1},\ldots ,e_{n}\in \mathbb {Z} _{\geq 0})$

是 $U(L)$ 的基。此定理的直接推論是：$i:L\to U(L)$ 為單射。

表示理論

在泛性質中取 $A=\mathrm {End} (V)$，其中 $V$ 為任意向量空間，遂可等同 $L$ 的表示與 $U(L)$ 的表示，後者不外是 $U(L)$-模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。

群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。

文獻

• Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6