双射

一个双射函数

數學中，一個由集合$X$映射至集合$Y$的函數，若對每一在$Y$內的$y$，存在唯一一個在$X$內的$x$与其对应，且對每一在$X$內的$x$，存在唯一一個在$Y$內的$y$与其对应，則此函數為對射函數。

換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，则$f$是雙射的。即，同時為單射和滿射。

例如，由整數集合$\mathbb {Z}$至$\mathbb {Z}$的函數$\operatorname {succ}$，其將每一個整數$x$連結至整數$\operatorname {succ} (x)=x+1$，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數$\operatorname {sumdif}$，其將每一對實數$(x,y)$連結至$\operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)$，這也是個雙射函數。

一雙射函數亦簡稱為雙射（英語：bijection）或置換。後者一般較常使用在$X=Y$時。以由$X$至$Y$的所有雙射組成的集合標記為$X\leftrightarrow Y$。

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數

一函數$f$為雙射的若且唯若其逆關係$f^{-1}$也是個函數。在這情況，$f^{-1}$也會是雙射函數。

兩個雙射函數$f:X\leftrightarrow Y$及$g:Y\leftrightarrow Z$的複合函數$g\circ f$亦為雙射函數。其反函數為$(g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})$。

一个複合所得的双射，左侧为单射，右侧为满射。

另一方面，若$g\circ f$為雙射的，可知$f$是單射的且$g$是滿射的，但也僅限於此。

一由$X$至$Y$的關係$f$為雙射函數若且唯若存在另一由$Y$至$X$的關係$g$，使得$g\circ f$為$X$上的恆等函數，且$f\circ g$為$Y$上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

雙射與勢

若$X$和$Y$為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

• 對任一集合$X$，其恆等函數為雙射函數。
• 函數$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，其形式為$f(x)=2x+1$，是雙射的，因為對任一$y$，存在一唯一$x=(y-1)/2$使得$f(x)=y$。
• 指數函數$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$，其形式為$g(x)=e^{x}$，不是雙射的：因為不存在一$\mathbb {R}$內的$x$使得$g(x)=-1$，故$g$非為雙射。但若其陪域改成正實數$\mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )$，則$g$便是雙射的了；其反函數為自然對數函數$\ln$。
• 函數$h$ : $\mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )$，其形式為$h(x)=x^{2}$，不是雙射的：因為$h(-1)=h(1)=1$，故$h$非為雙射。但如果把定義域也改成$[0,+\infty )$，則$h$便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。
• $\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$不是雙射函數，因為$-1,0$和$1$都在其定義域裡且都映射至$0$。
• $\mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$不是雙射函數，因為$\pi /3$和2$\pi /3$都在其定義域裡且都映射至${\sqrt {3}}/2$。

性質

• 一由實數$\mathbb {R}$至$\mathbb {R}$的函數$f$是雙射的，若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
• 設$X$為一集合，則由$X$至其本身的雙射函數，加上其複合函數「$\circ$」的運算，會形成一個群，即為$X$的對稱群，其標記為${\mathfrak {S}}(X)$、${\mathfrak {S}}_{X}$或$X!$。
• 取一定義域的子集$A$及一陪域的子集$B$，則

$|f(A)|=|A|$且$|f^{-1}(B)|=|B|$。

• 若$X$和$Y$為具相同勢的有限集合，且$f:X\to Y$，則下列三種說法是等價的：

1. $f$為一雙射函數。
2. $f$為一滿射函數。
3. $f$為一單射函數。

• 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如$y=x^{-3}$）。

雙射與範疇論

形式上，雙射函數恰好是集合範疇內的同構。

另見

• 等势
• 單射
• 同構
• 置換
• 對稱群
• 满射
• 雙射計數法
• 水平线测试

參考文獻

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外部連結

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• 埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld. 
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）